Bu ders, kompleks analizin temel gerçeklerini, özellikle de tek kompleks değişkenli fonksiyonların türevleri ve integralleri tarafından sağlanan önemli özellikleri anlamayı amaçlamaktadır. Bu ders ayrıca, bu fikirlerin Real Analiz'de kullanılan fikirlerin genellemeleri olduğunu göstererek analizdeki temel kavramları anlamayı ve öğrencilerin matematiksel akıl yürütme yeteneklerini geliştirmelerini ve doğru matematiksel ispatları üreterek kendilerini yazılı olarak doğru bir biçimde ifade etmelerini amaçlamaktadır. Kompleks Analiz'in temel amacı, tek kompleks değişkenli fonksiyonlarının gelişimini incelemektir. Öğrenciler kompleks analizin temel teoremlerini – Cauchy-Riemann denklemleri, Cauchy Teoremi, Cauchy İntegral Formülü, Maksimum Modül Prensibi, Liouville Teoremi, Rezidü Teoremi, Rouche Teoremi, Riemann Tasvir Teoremi – ispatlarıyla birlikte ayrıntılı bir şekilde inceleyecektir. Ayrıca bu fikirleri, hem kompleks eğrisel integrallerin hem de reel integrallerin hesaplanmasını içeren çok çeşitli problemlere uygulayacaklardır. Dersin sonunda öğrenci, kompleks analizin temelleri hakkında bilgi sahibi olmalı ve hem teorik hem de uygulamalı matematiğin ve diğer disiplinlerin, özellikle fiziksel bilimlerin, bir çok alanındaki uygulamalarıyla birlikte bir takım güçlü teknikler (örneğin, integrallerin hesaplanması) öğrenmiş olmalıdırlar.

Çevre integralleri; Cauchy-Goursat teoremi; Cauchy integral formülü ve sonuçları; Liouville’s teoremi, Cebir’in temel teoremi ve maksimum modül teoremi; Taylor ve Laurent açılımları; kuvvet serilerinin cebiri; seri açılımlarını çıkarma teknikleri; tekilliklerin sınıflandırılması; rezidüler ve Cauchy rezidü teoremi; sıfırlar ve kutuplar; rezidü teoreminin uygulamaları, reel (improper) integrallerin kompleks metotlarla hesaplanması.

Ders sınıfta yüz-yüze verilerek işlenmektedir. Dersler örnek odaklı ve uygulama tabanlıdır. Tüm öğrenme aktiviteleri öğrenci merkezli ve çalışmalara aktif olarak katılmaları için öğrencilerin ilgisini çekmek ve motive etmek için tasarlanmıştır. Dersler herkese açık ve öğrenciler arkadaşlarıyla birlikte çalışmaları ve dersi verenlerden yardım almaları için teşvik edilmektedir. Özel olarak öğrencilerin öğrenme aktiviteleri: • İçeriğin sunulduğu ve açıklandığı ve ispat ve örneklerle gösterildiği derslere öğrencilerin devam etmesi; • Öğrencilerin problemleri çözmek, eleştirel ve çözümsel düşünmek ve teori ve işlemlerin uygulamasında başkaca pratikler elde etmesine yönelik öğrencilerin yeterliliğini oluşturmak için tasarlanan uygulama derslerinin tamamlanmasından; oluşmaktadır.

1 - James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 8th ed., McGraw-Hill, Inc., 2009. 2 - A.I. Markushevich, Theory of Functions of a Complex Variable, Vol I. revised English edition, translated and edited by Richard A. Silverman, Prentice-Hall, Inc., 1965. 3 – Jerrold E. Marsden and Michael J. Hoffman, Basic Complex Analysis, 3rd ed., W. H. Freeman, 1998. 4 – Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003. 5 – Edward B. Saff and Arthur David Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science, 3rd ed., Prentice Hall, 2003. 6 - Dennis G. Zill and Patrick D. Shanahan, Complex Analysis: A First Course with Applications, 3rd ed., 2013. 7 – Serge Lang, Complex Analysis, 4th ed., Springer, Inc., 1999. 8 – M. R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller and D. Spellman, Schaum's Outline of Complex Variables, 2nd ed., McGraw-Hill, 2009. 9- Turgut Başkan, Kompleks Fonksiyonlar Teorisi, 7. Baskı, DORA, 2012. 10 – H. A. Priestley, Introduction to Complex Analysis, 2nd ed., Oxford University Press, 2003. 11 – Donald Sarason, Complex Function Theory, Oxford University Press, 2007. 12- Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, Springer, 2001.