Bu dersin amacı, öğrenciler için ölçü teorisini teorisine, özellikle ölçülebilir kümeler ve fonksiyonlar, ölçülebilir fonksiyonların yakınsaklığını ve Lebesgue integrasyon teorisine bir giriş yapmaktır. Ayrıca, dersin amacı, öğrencilere matematiğin öğrenilmesinin devamı için, özellikle de fonksiyonel analiz ve olasılık teorisi dersleri için, gerekli araçları sunmaktır. Bu dersin sonunda öğrenciler: - Alt kümeler sınıfında belli cebirsel yapıların varlığını tanıyabilecektir; - Alt kümelerin bir sigma-cebrinde tanımlanmış bir sayılabilir toplamsal küme fonksiyonundan başlayarak veya uygun şekilde seçilen ölçülerin bir dizisinden başlayarak bir ölçü oluşturabilecektir; - Bir ölçüye göre ölçülebilir bir fonksiyonu integre edebilecektir; - Yakınsama Teoremlerini kullanabilecektir; - Öklid uzaylarında önceki analiz dersleri sırasında öğrendiği integrasyonun temel teoremlerine, soyut bir bağlamda, hakim olabilecektir; - Ölçü ve integrallenebilirlik kavramları arasındaki ana bağlantıları bilecektir; - Tanımlanan kavramlara örnekler verebilecektir; - Ölçü teorisine özgü olan ispat tekniklerine hakim olabilecektir.

Sigma-cebirleri, Reel saylarin Borel kumeleri, Reel eksende dış Lebesgue ölçüsü ve Lebesgue ölçüsü; Reel sayıların ölçülebilir olmayan kümeleri; Ölçülebilir fonksiyonlar; Ölçülebilir fonksiyonların dizilerinin yakınsaklığı; Basit fonksiyonlarla yaklaşım; Egoroff ve Lusin Teoremleri, Lebesgue integrali: tanım ve özellikler; Lebesgue ve Riemann integralleri arasındaki ilişki, Sınırlı Yakınsaklık Teoremi; Fatou Lemması, Monoton Yakınsaklık Teoremi, Lebesgue Sınırlı Yakınsaklık Teoremi.

Öğretim üyesinin ders materyalini öğrencilere sunacağı ve onlara rehberlik edeceği, haftada iki formel ders yapılacaktır. Bu süre zarfında, öğrencilerin derslerde sunulan materyalle meşgul olmaları, bu materyalleri anlamalarında karşılaşabilecekleri zorlukların belirlenmesi ve bu zorlukların üstesinden gelmek için öğretim görevlisi ile etkileşime girmesi beklenmektedir. Öğrencilerin tüm derslere katılması beklenmektedir. Öğrenciler verilen alıştırmaları çalışacaklardır. Alıştırmalar, öğrencilerin teori ve bunları uygulama becerilerini güçlendirmelerinde yardımcı olur ve gelişimlerini ölçmelerine imkan verir.

1- Hals L. Royden and Patrick M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th ed., Pearson Education, Inc., 2010. 2- A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Prentice Hill, Inc., 1970. 3 - Gar de Barra, Introduction to Measure Theory, Van Nostrand Reinhold Company, New York 1974. 4 - Donald L. Cohn, Measure Theory, 2nd ed., Springer Science+Business Media, LLC, 2013. 5 - Robert B. Ash, Real Analysis and Probability, Academic Press, 1972. 6 - Lawrence Craig Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Ed., Taylor & Francis Group, LLC, 2015. 7 - Paul Halmos, Measure Theory, Springer Verlag New York, 1974. 8- John N. McDonald and Neil A. Weiss, A Course in Real Analysis, 2nd ed., Academic Press 2013. 9 - Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2005. 10 - Michael Eugene Taylor, Measure Theory and Integration, American Mathematical Society, 2006. 11 - Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, American Mathematical Society, 2011. 12 - S. J. Taylor, Introduction to Measure and Integration, Cambridge University Press, 1973. 13 - Richard Wheeden, Richard L. Wheeden and Antoni Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Marcel Dekker Inc., 1977. 14 - J. Yeh, Real Analysis: Theory of Measure and Integration, 3rd ed., World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2014.