Dersin temel amacı, doktora öğrencilerine stokastik süreçlerin teorik derinliği (ölçü teorisi, martingaller) ile modern bilimsel uygulamaları (Üretken Yapay Zeka, Kantitatif Finans, Fiziksel Modelleme) arasında güçlü bir köprü kurmaktır. Ders, öğrencilere rastgelelik içeren karmaşık dinamik sistemleri matematiksel bir kesinlikle modelleme, analiz etme ve simüle etme yetkinliği kazandırmayı hedefler. Klasik Itô kalkülüsünden modern Difüzyon Modellerine uzanan bu süreçte, öğrencilerin literatürdeki ileri düzey makaleleri okuyup anlayabilecek ve kendi alanlarında özgün stokastik modeller geliştirebilecek seviyeye gelmeleri amaçlanmaktadır.

Bu ders, ileri stokastik süreçlerin titiz matematiksel temellerini ve modern bilimdeki (Finans, Fizik ve Yapay Zeka) uygulamalarını kapsamlı bir şekilde ele alır. Ders, ölçü teorisi (measure theory) tabanlı olasılık, martingaller ve filtrasyonların inşası ile başlar. Ardından Brownian hareketi, Itô kalkülüsü, stokastik diferansiyel denklemler (SDE) ve bunların sayısal çözüm yöntemleri (Euler-Maruyama, Milstein) derinlemesine incelenir. Dersin son bölümü, Girsanov teoremi, Fokker-Planck denklemleri ve modern üretken yapay zekanın (Generative AI) temeli olan Difüzyon Modelleri gibi ileri araştırma konularına odaklanır. Teori, Python/Julia tabanlı simülasyon projeleriyle desteklenir.

Yüz yüze teorik ders anlatımı, makale tartışmaları (Seminal Papers), Hesaplamalı Projeler (Python/Julia), Vaka Analizleri.

1. Øksendal, B. (2013). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer. 2. Rigorous Theory: Karatzas, I., & Shreve, S. (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. 3. Numerical Methods: Higham, D. J. (2001). "An algorithmic introduction to numerical solution of stochastic differential equations". SIAM Review. 4. Modern AI Application: Song, Y., et al. (2021). "Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations". ICLR.